摘要：針對Compertz模型的參數估計問題，提出了一種數學處理方法，將需要求解三維優化問題簡化成求解一元非線性方程問題，并給出了求解該一元方程的解區間搜索算法和二分法求解算法。實際表明，該算法不僅計算過程穩定，計算速度快，而且計算誤差小。本文嘗試用Compertz模型算法解決實際生產中抽油機單井熱洗周期難確定、無法計算問題。
　　關鍵詞：Compertz模型；參數估計；二分法；熱洗周期；含蠟沉積物；懸點最小載荷
　　
　　中圖分類號：TE933文獻標識碼：A文章編號：
　　Compertz模型在石油地質研究、油田開發指標預測等領域有很多應用[1,2]，能夠描述具有反S型曲線特征的一大批實際數據。Compertz模型的參數估計問題是一個三維數值優化問題，一般算法難以給定合適的迭代初始值、容易收斂于局部極小點。本文遵循降維思想，給出了Compertz模型參數估計的一個新的算法。利用Compertz模型參數估計的新算法，擬合計算懸點最小載荷與時間之間的函數關系，從而計算得出熱洗周期。
　　一參數估計方程
　　Compertz模型：，（1）
　　其中，是時間變量，是待定常數(),需要用測量數據來估算。
　　假設測量數據為。記：，；，（2）則確定常數的任務轉化成求函數的最小值問題。
　　從式(2)求函數的偏導數：
　　；
　　
　　函數有極小值的必要條件是其偏導數等于0，所以：
　　（3）；，（4），（5）
　　式中：，，，
　　，，
　　顯然，和都是僅與參數c有關的單變量函數，而方程組（3～5）關于參數a和b是線性的。從式（4～5）得到，（6）；，（7）
　　將式（6～7）代入式（3）得到：
　　，（8）
　　記式（8）式左邊的函數為，則方程（8）是關于未知數c的一元方程。從方程（8）求出未知數c之后，分別代入式（6～7）即可求出參數a和b。稱方程（8）參數估計方程。
　　二參數估計方程的數值求解
　　易知。如果方程有正實數解，根據函數連續性定理，必定存在一個區間，使得函數在該區間端點的函數值異號。如果能夠找到這樣的區間，則根據二分法[5]的使用條件，可以在這個區間上使用二分法求方程的精確數值解。給定一個較大的正實數，假設方程的解滿足。再給定一個步長，搜索解區間的算法如下。
　　（1）算法1（解區間搜索算法）：令，計算函數值：；令，計算函數值；若，則解區間即為，停止；若，則搜索失敗，停止；令，，轉第（2）步。如果步長足夠小，則算法1一般能夠找到一個有解區間。當執行算法1之后沒有找到有解區間，可能原因是步長不夠小。解決這個問題是方法是對步長進行自適應控制。設是任意小的正數，是給定的步長減小因子。
　　（2）算法2（自適應步長解區間搜索算法）：給定初始步長；使用算法1求解區間。若算法能成功求出解區間，則停止；若，則搜索失敗，停止；令，轉第（2）步。假設通過算法2得到了解區間，對應的函數值分別是和，應該滿足。再給定誤差控制參數。
　　（3）算法3（二分法求解算法）：令，求函數值；若，則令，，轉第（1）步；若，則令，，轉第(1)步；若，則即為方程的解，停止。
　　三抽油機單井熱洗周期估計的應用
　　1適用性分析
　　抽油機懸點最小載荷公式，（9）；
　　其中，，（10）
　　，（11）
　　將（10）式、（11）式代入（9）式，得
　　，（12）則可由非線性表出。
　　又有，
　　，（13）其中，，（14）；則有，（15）；則可由線性表出。
　　因抽油機井井底管柱含蠟沉積物厚度與時間正相關，符合Compertz生長模型條件，所以有，（16）；是待定常數，是時間變量，從而可由非線性表出，進而、可由非線性表出，，（17），（17）式說明排除其余變量干擾；是待定常數，是時間變量。
　　2計算舉例
　　懸點最小載荷值可利用Compertz模型，通過時間變量表出。在生產現場，值可用低壓測試儀器測試得出。目前某廠各基層小隊多數采用以下標準來確定洗井日期：產液量下降10%以下；上電流上升1.12倍以上；沉沒度上升100m以上；上載荷上升5%以上（未動管柱）；下載荷下降3%以下（未動管柱）。在這里，利用Compertz模型，求解熱洗周期，以“下載荷下降3%以下（未動管柱）”為標準。使用本文新算法求得累計下載荷預測模型：
　　，（18）
　　以該井作業后第2日洗井后測試時間和測試下載荷為基值，即假設2010年3月20日洗井后井下管柱無蠟等沉積物，其下載荷為47.05。當下載荷下降3%至45.6385時，應及時洗井，此時：
　　，（19）
　　解得（取整后），即該井洗井周期為133天，下次洗井日期為2010年7月31日。與實際洗井日期2010年8月7日，相差8天。
　　四結論
　　（1）該算法具有計算過程穩定、熟練性能好等特點，克服了一般數值優化算法應用在Compertz模型參數估計問題中難以給定合適初始值和容易收斂于局部極小點等缺陷。
　　（2）利用Compertz模型參數估計的新算法，擬合計算懸點最小載荷與時間之間的函數關系，計算得出某抽油機井熱洗周期，而且數據來源簡單易取，數據的動態變化不影響模型的穩定性。
　　參考文獻：
　　[1]童曉光，黎丙建.老油區石油儲量增長趨勢預測及應用[J].石油勘探與開發，1991，19（6）：25-31，39.
　　[2]趙旭東.對油田產量與最終可采儲量的預測方法介紹[J].石油勘探與開發，1986，14（2）：72-78.