【摘 要】判斷能被11整除的數(shù)的特征， 能被7整除的數(shù)的特征。

　　【關(guān)鍵詞】教育期刊論文,分節(jié)法,整除,特征,教學(xué),案例,評(píng)析

　　課前準(zhǔn)備：

　　1 安排需要的學(xué)具(計(jì)算器1個(gè))

　　2 認(rèn)識(shí)五年級(jí)一班學(xué)生

　　(設(shè)計(jì)意圖：希望在課前的幾分鐘時(shí)間里通過平等的對(duì)話交流，拉近師生之間的距離，為完成教學(xué)目標(biāo)作好鋪墊。)

　　教學(xué)目標(biāo)：

　　1、培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣，以至發(fā)展為內(nèi)在的學(xué)習(xí)動(dòng)力。

　　2、培養(yǎng)學(xué)生善于觀察、學(xué)會(huì)思考、學(xué)會(huì)分析的數(shù)學(xué)習(xí)慣。

　　3、初步培養(yǎng)學(xué)生研究數(shù)學(xué)的習(xí)慣。

　　教學(xué)重點(diǎn)：

　　培養(yǎng)學(xué)生熱愛數(shù)學(xué)、追求數(shù)學(xué)的價(jià)值觀。

　　教學(xué)設(shè)計(jì)：

　　一、談話導(dǎo)入

　　師：同學(xué)們，你們六年的小學(xué)生活即將畢業(yè)了，在這六年里你們經(jīng)歷了若干的老師，同時(shí)也學(xué)到了不少的知識(shí)。那么你們的知識(shí)是否就夠了?就滿足了?在每章每節(jié)里敢說沒有遺憾了嗎?

　　生：沒學(xué)夠，有遺憾。還有很多地方?jīng)]完全明白。

　　師：好的，那么老師就來考察你們整除方面的知識(shí)，看你們所學(xué)的到底還有多少差距，好不好?

　　生：好的

　　師：什么是整除呢?(如學(xué)生不能完整的回答這一概念，教師可作必要的補(bǔ)充。)

　　師：我們明白了什么是整除，那么能被2整除的數(shù)有什么特征?能被3整除的數(shù)呢?能被5整除的數(shù)呢?

　　生：踴躍發(fā)言。

　　(教師隨時(shí)關(guān)注學(xué)生的表述，有不準(zhǔn)確的地方及時(shí)要求學(xué)生調(diào)整過來。語言要求準(zhǔn)確、簡練。)

　　設(shè)計(jì)意圖：1、能被2、3、5整除的數(shù)的特征易學(xué)、易懂、易理解、易掌握，通過這樣的以舊引新的復(fù)習(xí)，讓每個(gè)同學(xué)都有參與發(fā)言的機(jī)會(huì)。以體現(xiàn)課堂的參與性。

　　2、提高學(xué)生的自信心。

　　二、談話過渡

　　師：同學(xué)們，我們學(xué)過了2、3、5的倍數(shù)的特征，那么11的倍數(shù)有特征嗎?7的倍數(shù)有特征嗎?教材上有這方面的知識(shí)沒有?你們的老師提示過沒有?你們自己追問過自己沒有?

　　生：沒有。

　　師：同學(xué)們這就是你們的遺憾了，那么想不想知道這方面的知識(shí)呢?

　　生：想。

　　師：那我們這節(jié)課就來探討――能被11、7整除的數(shù)的特征，(教師板書板書)

　　設(shè)計(jì)意圖：通過一連串的追問，激烈的對(duì)話，激起學(xué)生的求知欲。同時(shí)也讓學(xué)生明白自身的不足，從而想急迫的進(jìn)入課堂，一探事實(shí)的真相。

　　三、新授流程

　　(一)1、教師出示：44 66 187 1067 3586 5335 8415

　　要求學(xué)生判斷是不是11的倍數(shù)。(設(shè)計(jì)意圖：數(shù)由簡單到復(fù)雜，判斷也由容易到困難，從而把學(xué)生的思維拉入探究過程。)

　　2、師：既然1067、3586、5335、8415這幾個(gè)數(shù)不能一下子作出準(zhǔn)確的判斷，那我們就從簡單的數(shù)入手去研究，請(qǐng)說出最簡單的11的倍數(shù)。學(xué)生依次說出，教師板書。

　　11 22 33 44 55 66 77 88 99

　　師：請(qǐng)觀察它們的特點(diǎn)。

　　生：十位和個(gè)位上的數(shù)字相同。

　　3、師：那么11的倍數(shù)是三位數(shù)的又具有什么特征呢?請(qǐng)同學(xué)們算出11的11倍、12倍、17倍、24倍、35倍。(必須具備一定的量，以便進(jìn)行研究。)

　　4、教師板書 121 132 187 264 385

　　問：它們有什么特征呢?(教師給學(xué)生一定的觀察時(shí)間，同時(shí)巡視幫助。)

　　結(jié)論：百位上的數(shù)字+個(gè)位上的數(shù)字=十位上的數(shù)字

　　5、基本練習(xí)a、按此規(guī)律寫出幾個(gè)11的倍數(shù)。b、判斷341 、 275是不是11的倍數(shù)。

　　師：是不是在三位數(shù)中11的倍數(shù)就只具備這樣的特征呢?(這樣的質(zhì)疑可以進(jìn)一步激起學(xué)生的探討欲望。)那么請(qǐng)用11乘19、29、38、57.學(xué)生報(bào)告結(jié)果，教師板書：209 、 319 、 418 、 627。讓學(xué)生充分觀察，一定時(shí)間后教師引導(dǎo)學(xué)生觀察，板書：

　　百位上的數(shù)字 + 個(gè)位上的數(shù)字 ? 個(gè)位上的數(shù)字 = ? (11)

　　師：師生共同歸納什么時(shí)候結(jié)果為0，什么時(shí)候結(jié)果為11，從而明確三位數(shù)中11的倍數(shù)的特征。

　　(二)

　　1、師：三位數(shù)有規(guī)律可循，四位數(shù)中11的倍數(shù)又有什么規(guī)律呢? 師生一起分析

　　1067 3586 5335 8415 (注：把思考時(shí)間多留給學(xué)生，讓他們深深地體會(huì)研究過程的艱辛。培養(yǎng)堅(jiān)忍不拔的毅力)

　　同學(xué)們發(fā)現(xiàn)什么了嗎? (沒有)

　　教師用下例引導(dǎo)分析：

　　判斷12345能被3整除，可用分節(jié)法進(jìn)行

　　1/2/3/4/5

　　1+2+3+4+5 = 15 15是3的倍數(shù)，故12345就是3的倍數(shù)。(通過這種新奇的以舊引新，搭建起了新舊知識(shí)的橋梁。)

　　一定時(shí)間后，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察

　　師：其實(shí)，11的倍數(shù)也可以采用分節(jié)法來研究，只是注意分節(jié)時(shí)是從右向左每兩個(gè)數(shù)字分為一節(jié)，位數(shù)是奇位數(shù)時(shí)最后一節(jié)是一個(gè)數(shù)字，然后把各節(jié)上的數(shù)相加，最后分析結(jié)果。

　　分析說明過程

　　10/67 53/35

　　10+67=77 53+35=88

　　因?yàn)?7、88能被11整除，故1067、5335能被11整除，我們把這種方法叫住――分節(jié)法。 (同時(shí)板書在課題的前部分)

　　2、鞏固練習(xí)

　　判斷8415、3586 、 4563能被11整除嗎?

　　3、師：那倍數(shù)是五位數(shù)、六位數(shù)……用分節(jié)法可以嗎?

　　例、 94193 618574 　　分節(jié) 9/41/93 61/85/74

　　9+41+93 61+85+74

　　=1/43 =2/20

　　把結(jié)果繼續(xù)分節(jié)：1+43=44 2+20=22

　　44、22是11的倍數(shù)，那么94193、618574就是11的倍數(shù)。

　　小結(jié)：判斷一個(gè)數(shù)能否被11整除，可以把這個(gè)數(shù)從右向左每兩個(gè)數(shù)字分為一節(jié)，然后把各節(jié)上的數(shù)相加，如結(jié)果是11的倍數(shù)，那么這個(gè)數(shù)就是11的倍數(shù)。(兩位數(shù)除外。)

　　(三)師：同學(xué)們，11的倍數(shù)有特征，7的倍數(shù)有特征嗎?也能用分節(jié)法來研究嗎?能推廣嗎?下面我們?cè)囍�用分�?jié)法探討7的倍數(shù)的特征。教師出示：

　　7×15 7×28 7×45

　　結(jié)果分節(jié)1/05 1/96 3/15

　　教師板書

　　1×2+05=7 1×2+96=98 3×2+15=21我們發(fā)現(xiàn)經(jīng)過以上的分節(jié)處理其結(jié)果都是7的倍數(shù)。我們可以繼續(xù)演繹：

　　7×327 7 ×654

　　=22/89 =45/78

　　22×2+89 45×2+78

　　=1/33 =168

　　1×2+33 1×2+68

　　=35 =70

　　拓展練習(xí)：下面各數(shù)能被7整除嗎?如不能余數(shù)是幾?469 875 1404。

　　小結(jié)：能被7整除的數(shù)的特征：把一個(gè)數(shù)從右向左二位分一節(jié)，其余數(shù)字乘以2的積加上所分二位一節(jié)之和，如果能被7整除，這個(gè)數(shù)字就能被7整除。

　　四、課堂總結(jié)

　　同學(xué)們，通過我們今天的研究學(xué)習(xí)，初步嘗到了數(shù)學(xué)蘊(yùn)含的神奇奧秘，老師真誠希望大家在今后的學(xué)習(xí)中努力去發(fā)現(xiàn)、去探索，在數(shù)學(xué)王國里還有許多問題要大家去揭密。

　　教學(xué)反思：學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)，源于教師對(duì)數(shù)學(xué)的無限探求。

　　《用分節(jié)法探究能被11、7整除的數(shù)的特征》教學(xué)案例評(píng)析：本案例，設(shè)計(jì)很好，由淺入深，環(huán)環(huán)相扣，把較難的邏輯推理知識(shí)演繹得清楚明了，使學(xué)生的好奇之心有豁然開朗之感，歡快無比，體會(huì)到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的快樂，實(shí)現(xiàn)學(xué)生快樂學(xué)習(xí)的目的。課堂學(xué)習(xí)非常開放，教師搭建一系列平臺(tái)讓學(xué)生充分展示自己所想，學(xué)生自主、合作、探究，多途徑、多方面獲得數(shù)學(xué)知識(shí)與解題方法;課堂上學(xué)生匯報(bào)交流的方法與案例、獲得知識(shí)的的途徑與形式，學(xué)習(xí)資源的利用與開發(fā)、過程的動(dòng)態(tài)生成與學(xué)生板書，成果的分享，得到升華。教師的巧妙引導(dǎo)，給學(xué)生的充分肯定與引領(lǐng)，使學(xué)生所學(xué)知識(shí)得鞏固與提升。

　　教學(xué)有法而無定法，貴在教師的專研與探索，該教師真正做到了超越教材、超越自我。

　　課后感：以上案例是劉老師在我校上的一堂比較成功的公開課，課余，我懷疑他是在網(wǎng)上下載的資料，我上網(wǎng)查了資料，結(jié)果沒找到此種解法，我找他談話，你為什么要上“用分節(jié)法研究能被11、7整除的數(shù)的特征”，他的回答是：2013年秋，當(dāng)我上完西師版教材五年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第七章《倍數(shù)與因數(shù)》的第二節(jié)內(nèi)容：2、3、5的倍數(shù)特征后，我掩卷沉思：這一章節(jié)的內(nèi)容主要是在整數(shù)中研究的，有許多實(shí)際的應(yīng)用，但主要的目的是為今后分?jǐn)?shù)方面的計(jì)算做準(zhǔn)備。掌握了 2、3、5的倍數(shù)的特征，對(duì)于約分、通分、分?jǐn)?shù)的四則混合運(yùn)算就有了一個(gè)有力的工具。但通過我多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)得知，同學(xué)們?cè)谶M(jìn)行約分時(shí)最困難的卻是難以快速判斷分子、分母是否含有因子7或11，甚而至于是13，以此影響約分的速度和效果。比如：給約分就比較困難。要突破這方面的難點(diǎn)，須得弄清7或11等數(shù)的特征。

　　7或11的倍數(shù)是否有特征呢?如有又是怎樣的特征呢?教材上沒有滲透，資料上也沒有提及。但我怎能放棄呢?必須弄明白這方面的真相。

　　首先，我以11為突破口，于是，在我案頭上出現(xiàn)了一大堆的數(shù)字：88、99、121、132、187、209、319、627、770、880、858 ，這些都是11的倍數(shù)

　　看著這些數(shù)字，我內(nèi)心只有一個(gè)想法：規(guī)律在哪里?它們的內(nèi)在存在什么聯(lián)系?…… 一連串的問題在我心中縈繞。

　　個(gè)位上的數(shù)字有奇、有偶，從個(gè)位上尋求規(guī)律行不通。

　　把各位上的數(shù)字相加，結(jié)果與11也毫無關(guān)系。

　　……

　　看著88、99、770、880這幾個(gè)比較特殊的數(shù)與121、132、187、209、319、627的結(jié)構(gòu)不同，難道是兩位數(shù)與三位數(shù)的特征不同?難道要進(jìn)行分別研究?產(chǎn)生了這個(gè)想法，我立馬把11的倍數(shù)進(jìn)行了分類整理。

　　11的倍數(shù)是兩位數(shù)的：11、22、33、44、55、66、77、88、99

　　很有趣：個(gè)位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字相同。

　　11的倍數(shù)是三位數(shù)的：121、132、143、154、165、176、187、198、209、220、231……308、319……

　　我依次列舉了一串，通過我仔細(xì)觀察，這些數(shù)是乎可以劃分為兩種情形。

　　一類是：121、132、143、154、165、176、187、198、220、231、242、253……

　　一類是：209、308、319……

　　前一類滿足一個(gè)共同的特征：

　　百位上的數(shù)字 + 個(gè)位上的數(shù)字 ? 十位上的數(shù)字 = 0

　　后一類滿足：

　　百位上的數(shù)字 + 個(gè)位上的數(shù)字 ? 十位上的數(shù)字 = 11

　　我驚了：這0和11不就是11的倍數(shù)嗎?在三位數(shù)中難道滿足

　　百位上的數(shù)字 + 個(gè)位上的數(shù)字 ? 十位上的數(shù)字 = 0或 11的數(shù)就是11的倍數(shù)嗎?我急不可待的驗(yàn)證了許多11的倍數(shù)，結(jié)果都是這樣。同時(shí)也弄明白了滿足什么條件的兩位數(shù)的11倍結(jié)果為0，滿足什么條件的兩位數(shù)的11倍結(jié)果為11。

　　11的倍數(shù)是兩位數(shù)的有特點(diǎn)，是三位數(shù)的也有特點(diǎn)，且特點(diǎn)不同，難道四位數(shù)中是11的倍數(shù)又具有另類特征嗎?跟前面的研究方法一樣，我又列舉了一大串 11的倍數(shù)。1089、1100、1111、1122、1144、1188、1210、1221、1342、1353。 　　1100、1111、1122、1144、1188各位數(shù)字的組合比較特殊，很容易理解。但1089、1210、1221、1342、1353這些比較一般的數(shù)怎樣才能尋出點(diǎn)眉目來呢?

　　把各位上的數(shù)字相加，結(jié)果與11沒有關(guān)聯(lián)，，此路不通。我深信個(gè)位上的數(shù)字經(jīng)過一定方式的處理應(yīng)該與11有關(guān)聯(lián)。通過苦苦的思索我發(fā)現(xiàn)把1221分成兩節(jié)，12為一節(jié)、21為一節(jié)，把這兩個(gè)數(shù)相加結(jié)果為33。恰是11的倍數(shù)。興奮之余，我試著把其他的幾個(gè)數(shù)按同樣的方式分為兩節(jié)，把兩節(jié)數(shù)字一加，結(jié)果都是11的倍數(shù)。我相信這絕不是偶然，接著我進(jìn)行了大量的驗(yàn)證，經(jīng)過這樣的分節(jié)處理，兩節(jié)之和就是11、22、33、44……99這九個(gè)數(shù)字中的其中一個(gè)。這難道不是與判斷3的倍數(shù)的特征有異曲同工之妙嗎?

　　這個(gè)分節(jié)法適用于三位數(shù)嗎?乃至更多數(shù)位嗎?試試看。

　　11的倍數(shù)： 187 10857 39248

　　分節(jié) 1/87 1/08/57 3/92/48

　　相加 1+87=88 1+08+57=66 3+ 92+48=143

　　再分節(jié)相加 1/43 1+43=44

　　判斷：因?yàn)?8、66、44是11的倍數(shù)，故原數(shù)就是11的倍數(shù)。綜上所有研究的結(jié)果，可以表述為：11的倍數(shù)可以用分節(jié)法來進(jìn)行判斷，具體的操作過程是，把這個(gè)數(shù)從右向左每兩個(gè)數(shù)字分為一節(jié)，最后一節(jié)可以是一個(gè)數(shù)字，然后把各節(jié)上的數(shù)相加，如結(jié)果是11的倍數(shù)，那么這個(gè)數(shù)就是11的倍數(shù)。

　　當(dāng)然，研究問題要全面，我舉了大量不是11的倍數(shù)的例子，通過上面的操作其結(jié)果都不是11的倍數(shù)。從而初步認(rèn)定分節(jié)法的可靠性。

　　有了研究11的倍數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，我接著對(duì)7的倍數(shù)進(jìn)行了摸索，最終找到了7的倍數(shù)的判斷方法。只是在分節(jié)法的基礎(chǔ)上又有不同的處理方式，具體操作演示如下：(下面的數(shù)都是7的倍數(shù)。)

　　119 175 2520 5663

　　分節(jié) 1/19 1/75 25/20 56/63

　　過程 1×2+19 1×2+75 25×2+20 56×2+63

　　=21 =77 =70 =175

　　1×2+75=77

　　需要說明的是：只能分成兩節(jié)，右邊兩個(gè)數(shù)字為一節(jié)，其余的為一節(jié)，要用前一節(jié)的數(shù)乘2再加后一節(jié)的數(shù)，如果結(jié)果過大，繼續(xù)分節(jié)進(jìn)行，直到很好判斷為止。

　　后來，我對(duì)13、17、23等數(shù)也進(jìn)行了研究，它們的倍數(shù)都可以用分節(jié)法來進(jìn)行判斷，只是過程處理有一些差別而已。

　　深思：作為一名山區(qū)村小的教師，有如此專研教學(xué)方法的能力與精神，不得不令人感嘆!