摘要：本文闡述了被除數為質數時產生的循環小數的多種奇妙現象，進而分析了被除數為合數的相關余數的規則性，揭示了自然界存在的一種數字內涵的美，并分析了一個偶位數循環節不一定具有半九律。
　　關鍵詞：循環節，余數，互質
　　1、產生循環節的相關余數之間的關系
　　1.1如表1所示，a/b化小數中，以b=17為例，用表格列出1/17的循環節及其相關余數。表格中第一行為循環節上的數字，第二行為相關余數。
　　0 5 8 8 2 3 5 2 9 4 1 1 7 6 4 7
　　1 10 15 14 4 6 9 5 16 7 2 3 13 11 8 12
　　表1
　　把表1中其相關余數從1到10到15…到12的順序依次編為a到a…到a，如表所示中，a是a的2/3倍，即12*2/3=8，同樣，a與a的2/3關系：可把8還原為2*17+8，即42*2/3=28，28-17=11，如此計算，a總是a的2/3倍。依次看下去，a也是a的2/3倍。又如：a+a+a=a即：1+10+4=15，則a+a+a=a也成立。再如a+a+a+a=0（注：這里的0是17即b進制的個位數0），則a+a+a+a=0也成立。可以看出：在a/b化小數時，其先后出現的余數中，如果a與a之間有某種和、差、倍的關系，則a與a也有這種和、差、倍的關系。等等。以上是以b為質數17時產生的現象，當b為別的質數時，同樣會有這種類似的或別的關系。結論：在a/b（b為非2、3、5的質數）化小數產生的任何一個循環節里，如果依次出現的某順序上相關余數之間存在著某種關系時，只要符合這個順序關系的其它的相關余數之間也存在同樣的關系。
　　1.2若十進制整數Z是一個由9組成的n位數，用10、10…到10分別除以b得到相應的余數再分別乘以9后相加，若能被b整除，則Z也就能被b整除。以b=17為例，其除十進制10（0≤n≤16）每位上所得的余數剛好與1/17化小數過程中所得循環節的各個相關余數相同，見表2第二行。即：9*（a+a+…+a）的結果是17的倍數才能被17整除，而質數17并不含有9的任何因數，那么（a+a+…+a）的結果必為17的整數倍，(當b=17時，j=b-1=16)。而當b=3時，無論（a+a+…+a）的結果是什么，9*（a+a+…+a）的結果都能被3整除。所以當b=3時，產生循環節的相關余數之和可以不是3的整數倍。結論：在a/b（b為非2、3、5的質數）化小數中，產生同一個循環節的相關余數之和為b的整數倍。
　　1.3在a/b化小數中，以1/17為例，用表格分4組依次列出1/17的相關余數，每組4個相關余數，如表2
　　1 10 15 14
　　4 6 9 5
　　16 7 2 3
　　13 11 8 12
　　1 10 15 14
　　4 40 60 56
　　16 160 240 224
　　13 130 195 182
　　
　　
　　
　　
　　
　　表2表3
　　表2是1/17所產生的相關余數，而表3中，每一列數中從第一行到第四行之比皆為表2第一列第一行到第四行數之比即A：A：A：A=1：4：16：13。表3與表2的第一行和第一列數都相同，根據整除的理論，由于表2中這些余數都是同一個循環節的相關余數，說明表2中每一行數字之和都不能被17整除。表3中，設第一行之和到第四行之和分別為M、M*A/A、M*A/A、M*A/A。由于表3各數之和是表2各數之和加上17的整數倍的結果，又由整除理論可知表2各數之和是17的整數倍,所以表3也是17的整數倍,而表3四行之和為：M+M*A/A+M*A/A+M*A/A即：M*(A+A+A+A)/A。由于1≤A≤16，A不含有質數17的任何因數,由整除理論可知M不可能是17的整數倍，所以M/A不含有17的任何因數，只有(A+A+A+A)之和為17的整數倍。結論：在a/b(b為非2、3、5的質數)化小數中，所得的循環節的相關余數有w個，w為（b-1）的因數，若w=q*p成立，則可按其依次出現的順序分成q組p個，那么無論任何分法，每一組相同位置的余數相加和為b的整數倍，即a+a+a…+a=Z*b(Z為整數)。
　　1.4在a/b化小數中，所得的任一循環節上的數字按循環順序如果可以分成q組p個，則把每組數字按原循環順序組成一個p位數后再把q個p位數加起來和為T，具有合九律。相關余數的第一列之和（A+A+A+……+A）除以b等于整數Z，當Z=1時，T為p位數字9組成的數；當1＜Z≤10時，T是首一位數字加上尾一位數字和為9，中間由p-1位數字9組成的數；當10+1≤Z≤10時,T是一個n+1位首尾和為n+1位9,中間由p-n-1位9組成的數；以1/7為例，產生的循環節為142857，共6位，可以分成3組，每組兩個數字，即14、28、57，則14+28+57=99；或者分成42、85、71，則42+85+71=198，三組首位相關相余數相加為3+6+5=14，Z=14/7=2，2*9=18，首1加尾8即1+8=9。（注：本文中w、p、T含意與此節里相同）
　　2、除數為合數產生的循環節
　　2.1幾種特殊數的性質。
　　真分數a/b中b=b*b：⑴若b=2，b為非2、5的質數時，a/b=（a*5）/b/10，若（a*5）/b=Z+v,(1≤v＜b),那么a/b=（Z+v/b）/10，Z部分不被包含在循環節里；而b=5時，同理可推。也就是說，b為2或5時，所產生的循環節與a/b[1≤a≤（b-1）]產生的循環節相同。而a中與b互質的數所產生的循環節全部可以通過相關轉換成以b為除數所產生的循環節。⑵3是數字動態形式里9的因數，當b=3，b為質數時：①化a/b為小數的過程中不會出現余-a的情況；②若n=1，b產生的循環節上數字之和為3的整數倍，且同一個循環節里計算“半九律”的結果為“半三或半六律”；③若n=2，b產生的同一個循環節里計算“合九律”的結果“合X律”，X為1至8中的任何一個數字。④同一個循環節里的任意兩個與3互質的相關余數之差皆為3（或9）的整數倍。
　　2.2在a/b中，1≤a＜b,b=b*b，b和b皆非2或5的質數（以后相同），那么a/b化小數的過程中會產生三部分循環小數，一部分是由從1到（b-1）中有（b-1）個含有b為因數的數，這些數與b約去b后成為以a/b化小數產生的循環節，1≤a≤（b-1）；同樣地，第二部分與第一部分過程一樣，是由a/b化小數產生的，1≤a≤（b-1）；第三部分是以b為除數，從1到（b-1）中與b互質的數為被除數產生的，其能產生（b-1）-（b-1）-（b-1）即（b+1）-（b+b）個參與這部分循環節的數。從1到b-1中含有b、2b、3b……（b-1）b和b、2b、3b……（b-1）b，通過演算，它們和為：b*（b+b-2）/2，由于b和b皆不為2或5的質數，所以（b+b-2）/2是一個整數，由從1到b-1之和是b*（b-1）/2，而（b-1）/2-（b+b-2）/2也為整數，故第三部分的余數之和是b的整數倍。若b是w個數字9組成數的因數，則b產生的第三部分循環節與由a/b（或a/b）產生的循環節組成w位數除以b（或b）相同，并且w是（b-1）/2-（b+b-2）/2的因數。以b=133、b=7、b=19為例，由（b+1）-（b+b）=133+1-7-19=108位，但由于w=6，w=18，它們的最小公倍數為18，所以18個9組成的數就能被133整除，所以有6個18位的循環節。當a=1時，循環節和相關余數如表4。
　　
　　0 0 7 5 1 8 7 9 6 9 9 2 4 8 1 2 0 3
　　1 10 100 69 25 117 106 129 93 132 123 33 64 108 16 27 4 40
　　表4
　　從表4排列可以看出，a+a=7K，而a+a=19K，a-a=7k,a-a=19k,以上K、K、k、k皆為整數。在133中只含因數7、19僅各一個，用1.3節表2的排列法來分析，18可分解為2*9、3*6兩種，133的第一行若為6個余數1、10、100、69、25、117，和M為7*46，由a+a=7K，則第一行之和M含133的因數7，而必僅含因數19的第一列余數1、106、64之和19*9不能被133整除；若每行9個，則每行相連6個的結果才能被7整除，而9不是6的整數倍，所以第一行之和不含因數7，同理，也不含因數19，所以每列數字之和必同時含因數7、19，能被133整除，所以具有合九律。結論：⑴在a/b中，1≤a＜b,b=b*b，b和b、b所得的循環節位數分別為w、w、w，則w為w與w的最小公倍數，若w、w皆為偶數，設w/2=s,w/2=r，則第三部分相關余數中，a+a為b的整數倍，a與a之差為b的整數倍，而a+a為b的整數倍，a與a之差為b的整數倍。若w≠w且w≠w，第一行排w（或w）的整數倍p（或p）個相關余數所得的第一列和只是b（或b）的整數倍。而所得T有以b（或b）為除數所得的w/p（或w/p）個循環節組成的部分。⑵若w、w、w皆為偶數，且w/w、w/w皆為奇數，那么第三部份循環節具有半九律；若w、w有其一為質數或皆為質數，則第三部分同一個循環節里沒有合九律，第j位相關余數到第j+w-1位（或j+w-1位）相關余數之和為b（或b）的整數倍即任意連續w（或w）個相關余數之和是b（或b）的整數倍。⑶若w是w的公倍數，則以b產生的循環節為數除以b結果始終還是b產生的循環，w位b產生的循環節組成的數除以b結果還是w/w個b產生的循環節。
　　2.3在a/b中,b=b，則產生的循環節有兩部分，一部分由1到（b-1）除以b產生，另一部分由1到（b-1）中與b互質的數除以b產生。
　　2.4當b為n個質因數（非2、5）的積，從1到b-1中與b互質的數之和總是b的整數倍，化a/b為小數所得的循環節由2-1個不同的除數產生。
　　2.5在a/b中，b為n個質因數（非2、5）的積，相應的循環節位數為w、w、w、w…w，則w為w、w、w…w的最小公倍數，在b產生的循環節里，p為w、w、w、w…w中任何整數倍時，所得的T都沒有合九律。當w為偶數，且w與w、w、w…w的比值皆為奇數時，與b互質產生的循環節才具有半九律。