摘要：在花崗巖地區進行場地平整設計，一般將孤石并入剝離層計算，因此最終石方量與計算值存在一定的偏差。現行規程規范并無估算孤石方量的方法，因此研究孤石方量的估算方法具有現實意義。本文根據工程實例采用概率統計方法中的條件數學期望進行統計分析，探討孤石方量的估算方法。
　　關鍵詞：花崗巖孤石，方量估算，概率統計，條件數學期望
　　
　　
　　1前言
　　在花崗巖地區進行場地平整設計，一般將孤石并入剝離層計算，這種簡化的做法造成了石方量計算的偏差。本文所用工程案例位于廣州市科學城，工程場地位于覆蓋層厚度大且花崗巖孤石較發育的剝蝕殘丘，雖然場平設計時鉆孔間距達到了20m（圖1-1），但最終石方占總方量的比例（13.5%）與計算值（6.5%）仍存在一定的偏差。
　　現行規程規范并無估算孤石方量的方法，研究花崗巖孤石的估算方法具有現實意義。地表孤石的分布、塊徑、形狀等和地下的孤石有區別，本文僅討論地下孤石方量估算方法。
　　本文以鉆孔揭露的水平方向遇孤石率，垂直方向線孤石率構造二維隨機向量，通過條件數學期望獲得二者的函數關系，并進行可靠度估值。最后通過與某工程的平均厚度法計算結果和施工記錄進行對比，討論計算方法的合理性。
　　2借鑒儲量計算方法的孤石方量估算
　　場平設計時常將孤石視為夾層，借鑒儲量計算常用的平行斷面法、三角法、平均厚度法粗略估算孤石方量。
　　根據工程經驗，平行斷面法計算的儲量一般＜平均厚度法計算結果；三角法屬于一種精度更高的平均厚度法，但在鉆孔較多時效率太低，一般不采用，以下只討論平均厚度法。
　　平均厚度法中，剝離層、夾層、有用層相當于同底（S）不同高的柱體，該法不考慮孤石的具體形狀，因此計算結果較為保守。設開挖面以上，全部鉆孔的孤石平均厚度為，基巖面以上風化帶厚度（含孤石）平均值為，則孤石方量，剝離層總方量。
　　
　　圖1-1勘探點平面布置示意圖
　　本工程采用一種簡化的計算方法，通過對各孔孤石線性比例進行加權平均來獲得v/V，，式中yi為各孔孤石總厚度Hi與基巖面以上風化帶厚度Ti（含孤石）的比值，si為各孔基巖面以上風化帶厚度，n為鉆孔總數。可見平均厚度法和加權平均法是等價的。
　　由于鉆孔不可能把孤石全部揭露，平均厚度法一方面會遺漏未揭露的石方量，另一方面把孤石作為成層土處理又夸大的石方量，因此其計算精度難以評估。為反映孤石分布的不確定性，下文把概率統計理論應用到方量估算中來。
　　3基于概率統計的估算方法
　　3.1計算參數
　　由于孤石之間是相互獨立的，水平方向的“遇孤石率”，垂直方向的“線孤石率”具有一定的統計意義。
　　（1）水平方向計算參數——遇孤石率p
　　單個鉆孔是否遇孤石的隨機事件可看作貝努利試驗，該事件服從概率為p的兩點分布，而n個鉆孔相當于n重貝努利試驗，因此遇孤石的孔數x服從概率為p的二項分布，即，其數學期望E(x)=np。
　　對遇孤石率的分區統計見表3-1。
　　（2）垂直方向計算參數——線孤石率y
　　把線孤石率y定義為孤石總厚度H與基巖面以上風化帶厚度T（含孤石）的比值，y可直觀地表示孤石在垂向所占比例，根據鉆探資料，對場地線孤石率y進行分區統計如表3-1。
　　表3-1遇孤石率、線孤石率分區統計表
　　分區 pi 線孤石率yi 分區 pi 線孤石率yi
　　行號A 列號B   行號A 列號B  
　　1 1 0.1111 0.1933 2 3 0.1667 0.1053
　　1 2 0.1667 0.5805 2 4 0.2500 0.1049
　　1 3 0.3333 0.2513 3 1 0.2000 0.0559
　　1 4 0.3333 0.3885 3 2 0.2857 0.1736
　　2 1 0.2500 0.1452 3 3 0.0000 0.0000
　　2 2 0.0000 0.0000 3 4 0.3333 0.0697
　　根據統計成果，作線性孤石率y密度函數、分布函數的核密度估計曲線圖，與理論正態分布進行對比如圖3-1。
　　
　　由圖3-1，y核密度估計曲線應服從對數正態分布[1]，為簡化分析，擬采用正態分布近似地描述y的分布規律。
　　對y作擬合優度檢驗，假設檢驗1：y服從正態分布，檢驗結果雖接在接受域內（表3-2），但為負值顯然不合理。
　　表3-2y分布函數的假設檢驗
　　統計分級 頻度ni 各分級
　　
　　拒絕域≥
　　
　　結果
　　0-6 6 0.154676 -10.3831 5.991465 接受
　　6-11 8 0.16229   
　　11-30 6 0.461464   
　　30-60 1 0.059399   
　　若以y的均值和樣本標準差為正態分布參數，對y作Kolmogorov-Smirnov雙側檢驗，其方法是根據樣本經驗分布函數Fn(y)和正態分布函數N(y)構造檢驗統計量，在顯著水平0.05下，求得臨界值KS0.05=0.2873＞KS=0.271，概率p=0.0747，雖然非常接近拒絕域，但仍接受了正態分布的假設。
　　y近似服從正態分布是下文計算和討論的重要前提。
　　3.2基于條件數學期望的計算方法
　　對x進行標準化變換，則服從正態分布，因y近似服從正態分布，隨機向量(、y)服從二元正態分布，設的均值和方差分別為、，y的均值和方差分別為、。當已確定，則可通過條件數學期望和描述(、y)的統計學特征。
　　對場地各分區的、y及其相關系數r統計成果見表3-3。
　　表3-3遇孤石率、線性孤石率統計表
　　統計項目 p 
　　y 、y相關系數r
　　統計個數 12 12 12 0.3438
　　max 0.3333 0.9766 0.5805 
　　min 0.0000 -1.4253 0.0000 
　　平均值
　　0.2025 -0.0368 0.1724 
　　樣本標準差
　　0.1190 0.7131 0.1687 
　　全場平均 0.1912 － 0.2111 
　　方量估算與平均厚度法采用同樣的假設，全場地揭露孤石的面積為p*S，孤石所占厚度為y*，為基巖面以上風化土和孤石的總厚度平均值，則孤石體積為v=φpSy，基巖面以上的總方量為V=S。式中φ為形狀系數，取值0.526（橢球體）～0.67（圓柱）～1（六面體），因此孤石體積占基巖面以上總方量的比例為v/V=φpy。為方便與平均厚度法比較，取φ=1。
　　因，、n、x確定時，遇孤石率p也是定值，。另有，式中、、、、、已知，因此E(v/V)也是的線性函數，可以用均值的置信區間描述E(v/V)的置信區間。
　　因服從標準正態分布N(0,1)，因此當顯著水平為，其均值的單側置信區間界限值為，取，取全場地遇孤石率，n取全場地參與統計的鉆孔數68，算得，界限值為0.2696。
　　將各參數代入，算得。
　　利用分區統計成果計算孤石的比例，即，，。
　　3.3對計算結果的討論
　　（1）與平均厚度法的對比
　　考慮各分區p、y平均值等于全場地p、y平均值的情況，此時，，取，，有，該結果與平均厚度法算得的孤石比例v/V=0.0415吻合，此時基于條件數學期望的計算方法退化為平均厚度法。
　　，主要原因是統計樣本數（鉆孔數）較少，通常分區數達到大樣本（＞30）的情況下，統計量才以標準正態分布為極限，即，另外y的統計樣本數只有13個，參數、與其真值有一定偏差；次要原因是各分區數據的離散性以及鉆孔數的不均勻性，它造成各分區p、y平均值不等于全場地p、y平均值的情況。
　　基于條件數學期望的計算方法優勢在于可以通過遇孤石率p對孤石比例進行可靠度估值，它考慮了估計量可能的誤差，這一點是平均厚度法無法考慮的。
　　（2）與施工記錄對比
　　根據該工程勘測報告，以平均厚度法算得的基巖占總方量比例為2.4％，孤石占總方量比例為4.1％，地表孤石量未進行估算，近似地提出總石方量約占10％。根據施工記錄，按照橢球體計算的地上、地下孤石方量＋基巖石方量約占總方量13.5％。
　　假設施工記錄是準確的，則以估算地下孤石方量更合理，這樣地下孤石＋基巖方量約占9.6％，與施工記錄更接近。但值得注意的是發生概率僅為5％。
　　反算施工記錄石方比例13.5%的發生概率，，即發生了小概率事件，這顯然是不合理的，施工記錄的準確性應受到質疑。
　　由于施工記錄的測量過程、精度和可信度未得到巖土專業的確認，它對計算方法的檢驗作用是有限的，因此置信度的合理取值需要經過更多工程實例的檢驗方能確定。
　　（3）形狀系數的取值
　　為與平均厚度法作對比，本文取。由于孤石的形狀一般是介于橢球和棱角被剝蝕的六面體之間，有條件的工程應現場調查成果選取合適的值，或以施工記錄反算值。
　　（4）給定y時的條件數學期望計算方法
　　同理還可以通過以遇孤石率y對對孤石比例進行可靠度估值，由于y只是以正態分布近似描述，估值精度較低。由圖3-1，在區間，正態分布的y估值＞實測值，在這個區間內以計算是保守的，超出此區間時正態分布的y估值就不保守了。解決的方法是對y也進行標準化變換，則其標準化隨機變量服從T分布，其自由度為分區數-1，由于計算比較復雜，本文未考慮。
　　4結論
　　(1) 遇孤石率通過標準化變換后，可與線孤石率構成二維隨機向量，通過其條件數學期望可獲得兩者的函數關系。
　　(2) 仿照平均厚度法方量計算的假設，可通過遇孤石率、線孤石率的函數關系，求得孤石比例的數學期望，并作可靠度估值。
　　(3) 基于條件數學期望的計算結果與平均厚度法吻合，說明計算方法是合理的，且平均厚度法是基于條件數學期望計算方法的一個特例。
　　(4) 基于條件數學期望的計算方法優勢在于可以通過遇孤石率對孤石比例進行可靠度估值，相比平均厚度法，以可靠度估值計算的土石比與施工記錄更接近。
　　參考文獻
　　[1] 張繼周,繆林昌.巖土參數概率分布類型及其選擇標準[J].巖石力學與工程學報,2009,28(增2):3526~3532.
　　[2] 馮濤,吳光,王華.廣東花崗巖地段球狀風化地下分布特征分析[J].鐵道建筑,2007,(1):104~105.
　　[3] 復旦大學.概率論第二冊[M].北京:高等教育出版社,1979.180~183.