社會總產(chǎn)出由消費(fèi)和投資決定，在不考慮折舊的情況下，投資等于資本的變化率。經(jīng)濟(jì)的增長和資本的積累取決于消費(fèi)和投資之間的比例。那么消費(fèi)和投資之間的最優(yōu)比例是什么?資本折舊率和貼現(xiàn)因子對總的社會效用產(chǎn)生什么樣的影響?

　　摘 要：基于AK理論建立了包含消費(fèi)、投資、貼現(xiàn)因子和折舊率的效用最大化模型，運(yùn)用漢密爾頓-貝爾曼方程對模型求解，得到最優(yōu)消費(fèi)路徑。通過最優(yōu)消費(fèi)路徑我們發(fā)現(xiàn)：折舊率與消費(fèi)和資本負(fù)相關(guān)，貼現(xiàn)因子與消費(fèi)負(fù)相關(guān)，與資本正相關(guān)。

　　關(guān)鍵詞：sci論文,最優(yōu)消費(fèi)路徑,哈密爾頓,現(xiàn)因子

　　一、引言

　　本文研究的是經(jīng)濟(jì)增長的最優(yōu)消費(fèi)投資路徑，理論框架是持久收入假設(shè)和內(nèi)生增長理論，選擇的模型是資本產(chǎn)出彈性為單位彈性的AK模型，這是因?yàn)橘Y本在發(fā)展中國家的經(jīng)濟(jì)增長中起到了重要作用，發(fā)展中國家可以通過購買外國的先進(jìn)技術(shù)設(shè)備來發(fā)展本國的經(jīng)濟(jì)，發(fā)揮自己的后發(fā)優(yōu)勢。

　　二、模型

　　模型假定該國只生產(chǎn)一種產(chǎn)品，該產(chǎn)品既可以消費(fèi)又可以投資，該產(chǎn)品作為投資品和消費(fèi)品的時候，兩者之間可以相互轉(zhuǎn)換。經(jīng)濟(jì)增長由資本決定，消費(fèi)和投資之間的比例是由行為人決定的，政府的目標(biāo)是通過政策引導(dǎo)消費(fèi)路徑，使行為人可以獲得最大效用。設(shè)生產(chǎn)函數(shù)為yt=Akt，其中A反映技術(shù)水平，yt、kt和 ct分別表示在t時期的生產(chǎn)量、資本量和消費(fèi)量(ct≥0，kt≥0)，k0為初始資本量，得下面模型：

　　Max■βtln(ct)(1)

　　s.t. kt+1=yt+(1-δ)kt-ct，yt=Akt，

　　其中δ為資本折舊率，0≤δ≤1;β為貼現(xiàn)因子，0<β<1;Max■βtln(ct)表示行為人追求一生消費(fèi)效用的最大化，其中ct是控制變量，kt為狀態(tài)變量，本期的商品總供給和消費(fèi)決定了下期的資本數(shù)量。令f(kt)=Akt+(1-δ)=kt=(A+1-δ)kt，上述限制條件轉(zhuǎn)化為：s.t. kt+1=f(kt)-ct， f(kt) =(A+1-δ)kt(2)

　　因?yàn)閗t+1=f(kt)-ct，所以ct=f(kt)-kt+1，ct可以用kt的函數(shù)關(guān)系式來表示。求Max∑∞t=0βtln(ct)就是指在約束條件下，找到一個合適路徑使得目標(biāo)函數(shù)的值最大。

　　為了求值方便，將(2)式轉(zhuǎn)化為連續(xù)形式，定義值函數(shù)S(k)。根據(jù)漢密爾頓方程，得：

　　s(k)=max{ln[f(k)-k]+βs(k)}=ln[f(k)-h(k)]+βs[h(k)](3)

　　在上式中，k相當(dāng)于kt 、kt+1 ，指當(dāng)期和下期的資本存量，h(k)是進(jìn)行遞歸迭代的策略函數(shù)。S(k)、h(k)連續(xù)可微。我們估計(jì)

　　S(k)=M+Nln(k)(4)

　　對(3)、(4)進(jìn)行一階求導(dǎo)，并逐期遞歸迭代可得到值函數(shù)Sn(k)：sn(k)=(■βi-1)ln(■)+βn-1ln(A+1-δ)+(■jβj)ln[■]+(∑ns=1βS-1)ln(k)

　　因?yàn)橘N現(xiàn)因子0<β<1，易證：當(dāng)n→∞時，Sn(k)的極限值存在， S(k)==limn→∞sn(k)的極限值就是序列的解。說明得到的函數(shù)方程和(4)式的值完全一致，解出M=■ln[(1-β)(A+1- δ)+■ln[β(A+1-δ)]，N=■。

　　將M和N代入(3)式和(4)式得：

　　sn(k)=■ln[(1-β)(A+1-δ)]+■ln[β(A+1-δ)]+■ln(k)(9)

　　h(k)=β(A+1-δ)k(10)

　　(9)式也就是目標(biāo)函數(shù)的唯一解。對于任意k0>0，只要令k=g(k)=β(A+1-δ)k可得值函數(shù)的最優(yōu)解。因?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)是離散型的，對于任意時期，只要令kt+1，=β(A+1-δ)k，目標(biāo)函數(shù)必然取得最優(yōu)解。此時，ct=(1-β)(A+1-δ)kt。

　　綜上，目標(biāo)函數(shù)中消費(fèi)和資本的最優(yōu)解為：

　　從上式可以看出：當(dāng)期消費(fèi)ct和下期資本kt+1與資本折舊率δ負(fù)相關(guān)。資本折舊率越大，資本消耗的越多，供消費(fèi)的產(chǎn)品就越少。政府可以通過宏觀政策改變折舊率，加強(qiáng)資本的維護(hù)可以降低資本折舊率，比如政府刺激投資，使得維護(hù)現(xiàn)有資本的成本高于購置新資本，資本折舊率提高。

　　當(dāng)期消費(fèi)ct和貼現(xiàn)因子β負(fù)相關(guān)，下期資本kt+1和β正相關(guān)。說明貼現(xiàn)因子越小，當(dāng)期消費(fèi)越多，人們更愿意當(dāng)期消費(fèi);貼現(xiàn)因子越大，人們更愿意在將來消費(fèi)，下期的資本存量增加。政府可以通過調(diào)整利率和加強(qiáng)福利保障建設(shè)來調(diào)節(jié)貼現(xiàn)因子，從而引導(dǎo)消費(fèi)和投資。

　　三、變量對函數(shù)S(k)的影響

　　S(k)指行為人在給定資本的情況下，一生所能達(dá)到的總效用。為了討論的方便，令s(β，δ，k)=■ln[(1-β)(A+1-δ)]+■ln[β(A+1-δ)]+■ln(k)(12)

　　由上式，我們不難發(fā)現(xiàn)：

　　1.當(dāng)0≤β≤1時，■>0恒成立，即β值越大，s(β，δ，k)函數(shù)的值越大。由目標(biāo)函數(shù)可知，β值越大，消費(fèi)的效用越大。

　　2.■>0，s(β，δ，k)的值是資本存量k的增函數(shù)。K的值越大，可用于未來消費(fèi)的產(chǎn)品就越多，行為人一生的總效用值就越大。

　　3.■<0，δ的值越大，s(β，δ，k)的值越小，即資本折舊率越高，行為人一生的總效用就越小。政府提高利率和刺激投資都可以引起δ的值提高。

　　根據(jù)上文的假設(shè)，不難發(fā)現(xiàn)，行為人的消費(fèi)越大，獲得的效用越大，但是消費(fèi)的過大會引起資本的減少，從而使未來的消費(fèi)減少，所以應(yīng)合理地安排消費(fèi)和投資。政府應(yīng)該通過調(diào)節(jié)貼現(xiàn)因子和資本折舊率的值，來引導(dǎo)消費(fèi)和投資之間的比率。